[확률과 통계] Gamma Distribution (감마 분포)

1. Gamma Distribution이란?

 

감마 분포는 지수 분포의 정규화된 분포입니다.

확률 변수 X는 k개의 이벤트가 걸리는 시간을 정의합니다.

이때 시간은 항상 0보다 큽니다.

 

감마 분포의 pdf를 보겠습니다.

\(f(x) = \frac{\lambda^kx^{k-1}e^{-\lambda x}}{\Gamma(k)}\), x >= 0일 때 입니다.

만약 x < 0이라면 f(x) = 0입니다.

 

이때 r(k)는 감마 함수라고 하는 특별한 함수이고, 감마 함수는 아래와 같습니다.

\(\Gamma (k) = \int_{0}^{\infty } x^{k-1}e^{-x} dx\)

이때, \(\Gamma(1) = 1, \Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}\)라고 정의하고, 일반적으로

\(\Gamma(k) = (k-1)\Gamma(k-1\) 라고합니다.

이때 k > 1이라면,

\(\Gamma(n) = (n-1)!\)입니다.

 

만약 k = 1이라면 해당 감마 분포는 지수 분포와 동일합니다.

 

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2. Expectation and Variance

 

 

Exponential Distribution에서 E(x)는 \(\frac{1}{\lambda}\)였던거 기억하시나요?

간단하게도 Gamma Distribution에서 E(x)는 \(\frac{k}{\lambda}\)입니다.

 

또한 V(X)는 \(\frac{k}{\lambda^2}\)이 됩니다.

 

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3. 모양

 

 

k는 분포의 모양에 관여합니다.

람다는 분포의 스케일에 관여합니다.

 

k가 커질수록 분포의 가장 높은 값은 오른쪽으로 이동하게 되고, 람다가 높을 수록 그래프는 점점 뾰족해집니다.

 

그도 그럴것이 k가 커질수록 더 많은 이벤트의 간격에 대해 측정해야하므로 그래프가 우측으로 이동하고,

람다가 클수록 평균 기간이 짧다는 뜻이므로 점점 초기에 발생할 확률이 높아지고, 그래프가 점점 뾰족해집니다.

 

 

감사합니다.

 

 

지적 환영합니다.