[확률과 통계] Gamma Distribution (감마 분포)

1. Gamma Distribution이란?

 

감마 분포는 지수 분포의 정규화된 분포입니다.

확률 변수 X는 k개의 이벤트가 걸리는 시간을 정의합니다.

이때 시간은 항상 0보다 큽니다.

 

감마 분포의 pdf를 보겠습니다.

$f(x)=\frac{{\lambda }^k{x}^{k-1}{e}^{-\lambda x}}{\mathrm{\Gamma }(k)}$, x >= 0일 때 입니다.

만약 x < 0이라면 f(x) = 0입니다.

 

이때 r(k)는 감마 함수라고 하는 특별한 함수이고, 감마 함수는 아래와 같습니다.

$\mathrm{\Gamma }(k)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{k-1}{e}^{-x}dx$

이때, $\mathrm{\Gamma }(1)=1,\mathrm{\Gamma }(1/2)=\sqrt{\pi }$라고 정의하고, 일반적으로

$\mathrm{\Gamma }(k)=(k-1)\mathrm{\Gamma }(k-1$ 라고합니다.

이때 k > 1이라면,

$\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!$입니다.

 

만약 k = 1이라면 해당 감마 분포는 지수 분포와 동일합니다.

 

---

2. Expectation and Variance

 

 

Exponential Distribution에서 E(x)는 $\frac{1}{\lambda }$였던거 기억하시나요?

간단하게도 Gamma Distribution에서 E(x)는 $\frac{k}{\lambda }$입니다.

 

또한 V(X)는 $\frac{k}{{\lambda }^2}$이 됩니다.

 

---

3. 모양

 

 

k는 분포의 모양에 관여합니다.

람다는 분포의 스케일에 관여합니다.

 

k가 커질수록 분포의 가장 높은 값은 오른쪽으로 이동하게 되고, 람다가 높을 수록 그래프는 점점 뾰족해집니다.

 

그도 그럴것이 k가 커질수록 더 많은 이벤트의 간격에 대해 측정해야하므로 그래프가 우측으로 이동하고,

람다가 클수록 평균 기간이 짧다는 뜻이므로 점점 초기에 발생할 확률이 높아지고, 그래프가 점점 뾰족해집니다.

 

 

감사합니다.

 

 

지적 환영합니다.