[확률과 통계] Standard Normal Distribution (표준 정규 분포), Standard Normal Distribution의 다양한 속성

1. Critical Point : z_a

 

$z_a$는 표준 정규 분포의 critical point라고 합니다. 

남은 면적을 a로 만드는 값을 $z_a$라고 합니다.

 

이때 $z_a$는 (1-a) * 100 percentile를 만드는 값이라고도 볼 수 있습니다. (이때 a < 0.5)

또한 $\mathrm{\Phi }(z_a)=1-a$입니다.

마지막으로 가장 중요한 특징이 있는데, 이는 정규 분포의 대칭성을 활용한 특징입니다.

$P(|Z|\le z_{a/2})=P(-z_{a/2}\le Z\le z_{a/2})=\mathrm{\Phi }(z_{a/2})-\mathrm{\Phi }(-z_{a/2})=(1-a/2)-a/2=1-a$

위의 식은 같은 면적을 이분할해서 대칭으로 만들어서 해결한 특징입니다.

 

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2. Normal Distribution의 정규화를 통한 확률 값 계산

 

 

만약 어떤 확률 분포 X가 N($\mu ,{\sigma }^2$)를 따른다고 가정해봅시다.

이때 a와 b 사이의 값을 어떻게 찾을까요?

정규 분포에서 a와 b 사이의 값을 찾는 것은 너무나 구하기 힘듭니다.

따라서 우리는 이러한 분포를 Standard Normal Distribution으로 변환해서 손쉽게 계산할 수 있습니다.

 

$P(a\le X\le b)=P(\frac{a-\mu }{\sigma }\le \frac{X-\mu }{\sigma }\le \frac{b-\mu }{\sigma })=P(\frac{a-\mu }{\sigma }\le Z\le \frac{b-\mu }{\sigma })=\mathrm{\Phi }(\frac{b-\mu }{\sigma })-\mathrm{\Phi }(\frac{a-\mu }{\sigma })$

이해가 되시나요?

이렇게 우리는 정규 분포를 표준 정규 분포로 변환하여 계산합니다.

 

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3. General Normal Distribution

 

 

일반적으로 X~N($\mu ,{\sigma }^2$)를 따릅니다.

이때 $P(\mu -c\sigma \le X\le \mu +c\sigma )=P(-c\le Z\le c)$라는 식이 탄생하게 됩니다.

 

즉, 앞의 식에서 c = 1이라면 -1 ~ 1까지의 범위 안에 있는 확률 값이므로 약 68%가 범위 안에 들어가게 됩니다.

마찬가지로 c = 2이라면 95%가 범위 안에 들어갑니다.

마지막으로 c = 3이라면 99.7%가 범위 안에 들어갑니다.

 

따라서 95%의 확률을 가지는 범위를 알고 싶다면, $P(-2\le Z\le 2)$를 통해서 X를 변환하면 됩니다.

또는 그냥 "평균 - 2 * 표준 편차 ~ 평균 + 2 * 표준 편차"가 범위가 되겠네요.

 

추가적으로 Critical Point를 이용해서 범위를 풀 수도 있습니다.

$P(X\le \mu +\sigma z_a)=P(Z\le z_a)=1-a$입니다.

95번째 값은 $z_{0.05}$이고, 이는 1.645입니다.

이것을 이용해서 $Z\le z_{0.05}$를 이용해서, 역정규화 하면 됩니다.

 

따라서 N(3, 4)에서 95번째 값은 

$P(X\le 3+(2\ast z_{0.05}))=P(X\le 3+(2\ast 1.645))=1-0.05$이므로 6.29라는 것을 알 수 있습니다.

 

만약에 X가 평균이 m이고, 표준 편차가 a인 어떤 정규 분포라고 가정했을 때, 95%가 속하는 X의 범위를 구하라고 한다면 어떻게 구해야 할까요?

바로 범위는 m - 2a ~ m + 2a가 됩니다.

 

추가적으로 1 - k가 속하는 범위를 구하라고 한다면 얼만큼 범위를 정해야할까요?

바로 critical point를 이용해서 범위를 구하면 됩니다.

$m-a\ast z_{0.5k}\sim m+a\ast z_{0.5k}$

 

간단하죠?

 

이번 글에서는 표준 정규 분포를 이용해서 다양한 문제를 푸는 방법에 대해서 알아봤습니다.

감사합니다.

 

 

지적 환영합니다.