[확률과 통계] Normal Distribution (정규 분포)

1. Normal Distribution이란?

 

 

정규 분포란 좌우가 대칭인 분포를 말합니다.

이때 평균이 $\mu$이고, 분산이 ${\sigma }^2$인 정규 분포의 pdf는 아래와 같습니다.

$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}},for-\mathrm{\infty }\le x\le \mathrm{\infty }$이고,

이때 X~N($\mu ,{\sigma }^2$)라고 합니다.

 

만약 분산이 커지면 정규 분포는 완만하고 낮은 곡선을 가지게 됩니다. (옆으로 넓게 퍼진 형태)

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2. Standard Normal Distribution

 

 

Standard Normal Distribution이란 평균이 0이고 분산이 1인 정규 분포를 말합니다.

X~N($\mu ,{\sigma }^2$)인 정규 분포를 정규화한 정규 분포를 Y라고 합시다.

따라서 $Y=\frac{X-\mu }{\sigma }=\frac{1}{\sigma }X+(-\frac{\mu }{\sigma })$ 입니다.

 

따라서 E(Y) = 0이 되고, V(Y) = 1이 됩니다.

위의 식에서 보시면 아시겠지만 일반적인 normal distribution으로는 확률 값을 구하기 어렵습니다. pdf가 너무 더럽기 때문이죠...

따라서 우리는 normal distribution을 standard normal distribution으로 변환(정규화)해서 확률을 계산합니다.

즉 $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$으로 정규화한 다음에 확률 값을 계산합니다.

 

따라서 Standard Normal Distribution의 pdf는 $\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$이 됩니다.

그리고 표준 정규 분포의 cdf는 $\mathrm{\Phi }(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x\varphi (y)dy$이 됩니다.

 

참고로 표준 정규 분포에서 $\mathrm{\Phi }(0)=0.5$ 입니다. 왜냐하면 pdf가 symmetric이기 때문입니다.

또한, 이런 성질도 가지고 있습니다.

$1-\mathrm{\Phi }(x)=P(Z\ge x)=P(Z\le -x)=\mathrm{\Phi }(-x)$

$\mathrm{\Phi }(x)+\mathrm{\Phi }(-x)=1$

 

이때 80th percentile을 찾는 법도 간단합니다.

$\mathrm{\Phi }(x)=0.8$ 을 만족하는 x 값을 확률 값 테이블에서 찾으면 됩니다.

 

만약에 P(|Z| < x) = 0.7이라고 한다면, $\mathrm{\Phi }(-x)=0.15$ 인 값을 찾으면 됩니다.

 

 

다음 글부터는 좀 더 표준 정규 분포에 대한 설명을 하도록 하겠습니다.

감사합니다.

 

 

지적 환영합니다.