[확률과 통계] The Uniform Distribution

1. Uniform Distribution이란?

 

Uniform Distribution(연속 균등 분포)는 연속 확률 분포로, 분포가 특정 범위 내에서 균등하게 나타나 있을 경우를 말한다.

 

어떤 확률 분포 X가 Uniform Distribution을 따를 때, X~U(a, b)라고 표현한다.

 

범위는 보통 $a\le x\le b$이며, 해당 범위 안에서 일정한 확률 분포를 가진다.

 

이때 Probability Density function $f(x)=\frac{1}{b-a}$ 라고 표현한다.

위의 pdf에서 Cumulative Distribution Function을 구할 수 있는데, 수식은 아래와 같다.

 

$F(x)={\int }_a^{x}f(y)dy=\frac{1}{b-a}\left|y\right|\begin{array}{c}x\\ a\end{array}=\frac{x-a}{b-a}$

 

따라서 F(b) = 1이므로, 위 함수는 확률 분포라는 것을 알 수 있다.

물론 F(x)도 범위는 $a\le x\le b$이다.

 

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2. Uniform Distribution의 다양한 결과식

 

 

2.1 Expectation and Variance

 

$E(X)={\int }_a^{b}xf(x)dx={\int }_a^b\frac{x}{b-a}dx=\frac{1}{2(b-a)}\left|x^2\right|\begin{array}{c}b\\ a\end{array}=\frac{b+a}{2}$

 

$E(x)=\frac{a+b}{2}$

 

$E(X^2)={\int }_a^b{x}^{2}f(x)dx={\int }_a^b\frac{x^2}{b-a}dx=\frac{1}{3(b-a)}\left|x^3\right|\begin{array}{c}b\\ a\end{array}=\frac{b^2+ab+a^2}{3}$

 

$E(x^2)=\frac{a^2+ab+b^2}{3}$

 

위에 E(x)와 E(x^2)이 나왔으므로, Var(x)는 아래와 같다.

 

$Var(x)=E(x^2)-{E(x)}^2=\frac{a^2+ab+b^2}{3}-(\frac{a+b}{2}{)}^2=\frac{(b-a{)}^2}{12}$

 

$Var(x)=\frac{(b-a{)}^2}{12}$

 

 

참고로 Variance는 범위가 따로 없지만, Standart Deviation의 범위는 기존 X의 범위와 똑같습니다.

 

2.2 $p^{th}$ quantile of the uniform distribution

 

이때 p quantile은 확률 분포가 누적이 되었을 때, p 확률이 되는 x의 값을 말한다.

 

공식은 다음과 같다.

 

$p^{th}$ quantile : (1-p)a + pb

Interquartile range : (1 - 0.75)a + 0.75b - (1 - 0.25)a - 0.25b = $\frac{b-a}{2}$

(25%와 75% 사이의 거리)

 

간단히 생각해도 Uniform Distribution의 Cdf는 일차식의 형태이므로, 위와 같은 quantile이 나오는 것이 당연하다.

 

 

2.3 A standard uniform distribution, Y~U(0,1)

 

$Y=\frac{X-a}{b-a}$

 

이때 X는 기존의 uniform distribution이고, Y는 X를 정규화한 확률 분포입니다.

범위가 0~1까지인 점 주의해야 합니다.