[확률과 통계] The Uniform Distribution

1. Uniform Distribution이란?

 

Uniform Distribution(연속 균등 분포)는 연속 확률 분포로, 분포가 특정 범위 내에서 균등하게 나타나 있을 경우를 말한다.

 

어떤 확률 분포 X가 Uniform Distribution을 따를 때, X~U(a, b)라고 표현한다.

 

범위는 보통 \(a \leq x \leq b\)이며, 해당 범위 안에서 일정한 확률 분포를 가진다.

 

이때 Probability Density function \(f(x) = \frac{1}{b-a}\) 라고 표현한다.

위의 pdf에서 Cumulative Distribution Function을 구할 수 있는데, 수식은 아래와 같다.

 

\(F(x) = \int_{a}^{x}f(y)dy = \frac{1}{b-a}\left| y\right|\begin{matrix}
x \\ a
\end{matrix}
= \frac{x-a}{b-a} \)

 

따라서 F(b) = 1이므로, 위 함수는 확률 분포라는 것을 알 수 있다.

물론 F(x)도 범위는 \(a \leq x \leq b\)이다.

 

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2. Uniform Distribution의 다양한 결과식

 

 

2.1 Expectation and Variance

 

\(E(X) = \int_{a}^{b}xf(x)dx = \int_{a}^{b}\frac{x}{b-a}dx= \frac{1}{2(b-a)} \left| x^2 \right|\begin{matrix}
b \\ a
\end{matrix}=\frac{b+a}{2}\)

 

\(E(x) = \frac{a+b}{2}\)

 

\(E(X^2) = \int_{a}^{b}x^2f(x)dx = \int_{a}^{b}\frac{x^2}{b-a}dx= \frac{1}{3(b-a)} \left| x^3 \right|\begin{matrix}
b \\ a
\end{matrix}=\frac{b^2+ab+a^2}{3}\)

 

\(E(x^2) = \frac{a^2+ab+b^2}{3}\)

 

위에 E(x)와 E(x^2)이 나왔으므로, Var(x)는 아래와 같다.

 

\(Var(x) = E(x^2) - {E(x)}^2 = \frac{a^2+ab+b^2}{3} - (\frac{a+b}{2})^2 = \frac{(b-a)^2}{12}\)

 

\(Var(x) = \frac{(b-a)^2}{12}\)

 

 

참고로 Variance는 범위가 따로 없지만, Standart Deviation의 범위는 기존 X의 범위와 똑같습니다.

 

2.2 \(p^{th}\) quantile of the uniform distribution

 

이때 p quantile은 확률 분포가 누적이 되었을 때, p 확률이 되는 x의 값을 말한다.

 

공식은 다음과 같다.

 

\(p^{th}\) quantile : (1-p)a + pb

Interquartile range : (1 - 0.75)a + 0.75b - (1 - 0.25)a - 0.25b = \(\frac{b-a}{2}\)

(25%와 75% 사이의 거리)

 

간단히 생각해도 Uniform Distribution의 Cdf는 일차식의 형태이므로, 위와 같은 quantile이 나오는 것이 당연하다.

 

 

2.3 A standard uniform distribution, Y~U(0,1)

 

\(Y = \frac{X-a}{b-a}\)

 

이때 X는 기존의 uniform distribution이고, Y는 X를 정규화한 확률 분포입니다.

범위가 0~1까지인 점 주의해야 합니다.