[확률과 통계] binomial theorem proof (이항 계수 증명)

$(x+y{)}^n$ = $\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k{y}^{n-k}$

 

해당 수식을 귀납법을 통해 증명할 수 있습니다.

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1. n = 1 일 때

 

$(x+y{)}^1=(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0})x^1{y}^0+(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{1})x^0{y}^1$이므로 n = 1 일 때는 수식이 맞음을 알 수 있습니다.

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2. 증명

 

n - 1 일 때 맞다고 가정하고, n을 증명합니다.

 

$(x+y{)}^n$ = $(x+y)(x+y{)}^{n-1}$입니다.

이때 n - 1 일 때는 맞다고 가정했으므로, 위의 수식은 $(x+y)\sum _{k=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k})x^k{y}^{(n-1)-k}$입니다.

 

앞의 x + y가 거슬리므로 뒤에 곱해서 식을 전개해봅니다.

$\sum _{k=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k})x^{k+1}{y}^{(n-1)-k}+\sum _{k=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k})x^k{y}^{n-k}$가 됩니다.

 

이때 앞의 항에서 k = n-1일 때를 뽑고, 뒤의 항에서 k = 0인 항을 뽑아내면 식은 아래와 같습니다.

$x^n+\sum _{k=0}^{n-2}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k})x^{k+1}{y}^{(n-1)-k}+\sum _{k=1}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k})x^k{y}^{n-k}+y^n$

 

시그마의 인수들이 각각 다르므로 통일시켜줍니다.

앞의 항에서 k + 1 = i라고 가정하고, 뒤의 항에서는 k = i라고 가정합시다.

 

(같은 i로 통일해도 되는 이유는 두 개의 항이 더하기이고, 각각 시그마로 묶여 있으므로 시그마를 전개하면 같은 i나 k에 상관 없이 같은 식이 전개됩니다.)

 

$x^n+y^n+\sum _{i=1}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{i-1})x^i{y}^{n-i}+\sum _{i=1}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{i})x^i{y}^{n-i}$가 됩니다.

 

따라서 식을 단순화 하면,

$x^n+y^n+\sum _{i=1}^{n-1}((\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{i-1})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{i}))x^i{y}^{n-i}$이므로,

파스칼의 삼각형에 의하여 $x^n+y^n+\sum _{i=1}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})x^i{y}^{n-i}$이 됩니다.

남은 $x^n$과 $y^n$을 시그마 안으로 넣어주면,

 

$\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})x^n{y}^{n-i}$가 됩니다.

 

따라서 $(x+y{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^n{y}^{n-k}$ 수식이 성립합니다.