[확률과 통계] binomial theorem proof (이항 계수 증명)

\((x + y)^n\) = \(\sum_{k = 0}^{n}\binom{n}{k}x^ky^{n-k}\)

 

해당 수식을 귀납법을 통해 증명할 수 있습니다.

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1. n = 1 일 때

 

\((x + y)^1 = \binom{1}{0}x^1y^0 + \binom{0}{1}x^0y^1\)이므로 n = 1 일 때는 수식이 맞음을 알 수 있습니다.

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2. 증명

 

n - 1 일 때 맞다고 가정하고, n을 증명합니다.

 

\((x + y)^n\) = \((x+y)(x+y)^{n-1}\)입니다.

이때 n - 1 일 때는 맞다고 가정했으므로, 위의 수식은 \((x + y)\sum_{k = 0}^{n - 1}\binom{n-1}{k}x^ky^{(n-1)-k}\)입니다.

 

앞의 x + y가 거슬리므로 뒤에 곱해서 식을 전개해봅니다.

\(\sum_{k = 0}^{n-1}\binom{n-1}{k}x^{k+1}y^{(n-1)-k} \, + \, \sum_{k = 0}^{n - 1}\binom{n-1}{k}x^ky^{n-k}\)가 됩니다.

 

이때 앞의 항에서 k = n-1일 때를 뽑고, 뒤의 항에서 k = 0인 항을 뽑아내면 식은 아래와 같습니다.

\(x^n + \sum_{k = 0}^{n-2}\binom{n-1}{k}x^{k+1}y^{(n-1)-k} \, + \, \sum_{k = 1}^{n - 1}\binom{n-1}{k}x^ky^{n-k} + y^n\)

 

시그마의 인수들이 각각 다르므로 통일시켜줍니다.

앞의 항에서 k + 1 = i라고 가정하고, 뒤의 항에서는 k = i라고 가정합시다.

 

(같은 i로 통일해도 되는 이유는 두 개의 항이 더하기이고, 각각 시그마로 묶여 있으므로 시그마를 전개하면 같은 i나 k에 상관 없이 같은 식이 전개됩니다.)

 

\(x^n + y^n + \sum_{i = 1}^{n - 1}\binom{n-1}{i - 1}x^iy^{n - i} + \sum_{i = 1}^{n - 1}\binom{n - 1}{i}x^iy^{n - i}\)가 됩니다.

 

따라서 식을 단순화 하면,

\(x^n + y^n + \sum_{i = 1}^{n - 1}(\binom{n-1}{i - 1} + \binom{n - 1}{i})x^iy^{n - i}\)이므로,

파스칼의 삼각형에 의하여 \(x^n + y^n + \sum_{i = 1}^{n - 1}\binom{n}{i}x^iy^{n-i}\)이 됩니다.

남은 \(x^n\)과 \(y^n\)을 시그마 안으로 넣어주면,

 

\(\sum_{i = 0}^{n}\binom{n}{i}x^ny^{n-i}\)가 됩니다.

 

따라서 \((x + y)^n = \sum_{k = 0}^{n}\binom{n}{k}x^ny^{n-k}\) 수식이 성립합니다.