[확률과 통계] The Lognormal Distribution, The Chi-Square Distribution (로그 정규 분포, 카이 제곱 분포)

1. The Lognormal Distribution

 

Lognormal에서는 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$를 따를 때, Y = ln(X) ~ $N(\mu ,{\sigma }^2)$로 정의합니다.

그냥 기존의 normal distribution의 pdf에서 x를 ln(x)로 바꾼 게 끝입니다..

그게 아니라 Random Variable X를 ln(X)로 표현한 형태입니다.

그리고 ln(X)로 바꾼 것을 Y라고 칭합니다.

 

pdf는 $f(x)={\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma x}}^{-\frac{(ln(x)-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$입니다.

정규 분포의 pdf는 $f(x)={\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$입니다.

분모에 x가 곱해지고, exp의 x가 ln(x)가 됩니다.

 

cdf도 비슷하지만 중요합니다.

 

cdf의 유도 공식은 $P(X\le x)=P(ln(X)\le ln(x))=P(\frac{Y-\mu }{\sigma }\le \frac{ln(x)-\mu }{\sigma })=\varphi (\frac{ln(x)-\mu }{\sigma })$입니다.

 

$F(x)=\mathrm{\Phi }(\frac{ln(x)-\mu }{\sigma })$입니다.

cdf는 normal 분포와 공유가 가능합니다. x만 ln(x)로 바뀐 형태로 사용할 수 있습니다.

 

아무튼 E(X) = $e^{\mu +\frac{{\sigma }^2}{2}}$,

Var(X) = $e^{2\mu +{\sigma }^2}(e^{{\sigma }^2}-1)$입니다.

 

Lognormal Distribution은 오른쪽으로 길게 늘어진 형태입니다.

 

이때 median 값은 $e^{\mu }$이고, 평균값보다 작습니다.

참고로 median 값을 구하는 과정은 $\mathrm{\Phi }(\frac{ln(x)-\mu }{\sigma })=0.5\Rightarrow \frac{ln(x)-\mu }{\sigma }=z_a=0\Rightarrow ln(x)-\mu =0\Rightarrow x=e^{\mu }$입니다.

사실 갑자기 혼란스러워서 이해하기 힘들었는데, $\mathrm{\Phi }()$라는 것은 standard normal distribution을 기준으로 설명하는 것이기 때문에 $z_a=0$인 것은 당연합니다.

 

1 - a 번째 quantile인 x = $e^{\mu +\sigma z_a}$입니다. 이를 통해서 median 값을 쉽게 도출할 수 있습니다.

 

 

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2. The Chi-Square Distribution

 

 

X~N(0, 1)이 있다고 했을 때, 카이 제곱 분포는 Y = $X^2$입니다.

 

이때 chi-square 분포는 n degree를 가지고 있는데, n이 뜻하는 바는 더하는 정규 분포의 개수입니다.

즉 n degree를 가지고 있는 Y는 Y = $X_1^2+\cdots +X_n^2$이 됩니다.

 

이때 degree는 통상적으로 $\nu$(누)라고 합니다.

 

만약 X~${\chi }_{\nu }^2$이라고 하고, $X_1\sim {\chi }_{{\nu }_1}^2$, $X_2\sim {\chi }_{{\nu }_2}^2$라고 합시다.

이때 Y = $X_1+X_2$이면, 이는 곧 ${\chi }_{{\nu }_1+{\nu }_2}^2$와 같습니다.

왜냐면 X는 이미 제곱되어 있는 형태라서 그대로 더하면 되기 때문입니다.

 

카이 제곱 분포는 감마 분포의 특별한 형태입니다.

Gamma Distribution에서 $\lambda =1/2,k=\nu /2$라면 기댓값은 $\nu$이고, 분포는 $2\nu$가 됩니다.

 

또한 그때의 pdf는 $f(x)=\frac{1}{2^{\nu /2}\mathrm{\Gamma }(\nu /2)}{x}^{\nu /2-1}{e}^{-x/2}$이 됩니다.

 

 

감사합니다.

 

 

지적 환영합니다.